Question

已知椭圆的中心在原点，左焦点F₁（-2，0），过左焦点且垂直于长轴的弦长为

2 6

3

．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）过（-3，0）点的直线l与椭圆相交于A，B两点，若以线段A，B为直径的圆过椭圆的左焦点，求直线l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设出椭圆方程，表示出通径，由其长等于

2 6

3

，联立c=2及a²=b²+c²求解a，b的值，所以椭圆的标准方程可求；
（Ⅱ）设出直线l的方程，和椭圆方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数的关系得到两交点A，B的纵坐标的和与积，代入向量数量积等于0求解答案．

解答：解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)．
令x=-c，代入椭圆方程得，y=±

b2

a

．
所以

b2 a = 6 3 c=2

，又a²=b²+c²，解得

a= 6 b= 2

．
∴椭圆的标准方程为

x2

6

+

y2

2

=1；
（Ⅱ）设直线l的方程为x=my-3，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
联立直线与椭圆的方程

x2 6 + y2 2 =1 x=my-3

，得（m²+3）y²-6my+3=0，
y1+y2=

6m

m2+3

，y1y2=

3

m2+3

，
由题意可知AF₁⊥BF₁，即kAF1•kBF1=-1，
∴

y1

x1+2

•

y2

x2+2

=

y1y2

(my1-1)(my2-1)

=

y1y2

m2y1y2-m(y1+y2)+1

=-1
整理得：（m²+1）y₁y₂-m（y₁+y₂）+1=0．
∴

3(m2+1)

m2+3

-

6m2

m2+3

+1=0，解得m=±

3

．
代入△=36m²-12（m²+3）=24×3-36=36＞0．
所以直线l的方程为x+

3

y+3=0或x-

3

y+3=0．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线和椭圆的关系，直线和圆锥曲线的关系问题，常采用根与系数的关系来解决，考查了学生的计算能力，属有一定难度题目．