Question

已知函数f（x）=x³-ax²+bx．
（1）若函数f（x）在点（2，f（2））的切线方程为5x-y-8=0，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若b=-3，f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）根据已知得f（2）=8-4a+2b=2，f′（2）=12-4a+b=5，解出a，b的值，接下来，利用导数求解函数单调区间的方法步骤求解；
（2）f（x）在[1，+∞）上是增函数，则f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，解出a的不等式a≤

3(x2-1)

2x

，只需求

3(x2-1)

2x

的最小值即可．

解答：解：（1）根据已知易得f（2）=8-4a+2b=2，f′（2）=12-4a+b=5，
得出a=2，b=1，即f（x）=x（x-1）²，当f′（x）=（x-1）（3x-1）＞0，即x＞1或x＜

1

3

时，f（x）为增函数，
所以f（x）的单调递增区间为（-∞，

1

3

）∪（1，+∞）
（2）b=-3，f（x）=x³-ax²-3x，
∵f（x）在x∈[1，+∞）上是增函数
∴f′（x）=3x²-2ax-3≥0，
∴

a

3

≤

x2-1

2x

，
令g（x）=

x2-1

2x

，x∈[1，+∞）
g′（x）=

x2+1

2x2

＞0，即g（x）在[1，+∞）单调递增，
∴g（x）≥g（1）=0，
∴a的取值范围为a≤0．

点评：本题是函数的综合题，主要考查函数导数的几何意义，函数的单调性等知识，在平时多加以练习，掌握其要领．