Question

（Ⅰ）若椭圆上任一点到两个焦点（-2，0），（2，0）的距离之和为6，求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若椭圆过（2，0），离心率为

3

2

，求椭圆的标准方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意可得：c=2，并且得到椭圆的焦点在x轴上，再根据椭圆的定义得到a=3，进而由a，b，c的关系求出b的值得到椭圆的方程．
（Ⅱ）由于椭圆的焦点位置未定，故需要进行分类讨论，进而可求椭圆的标准方程．

解答：解：（Ⅰ）∵两个焦点的坐标分别是（-2，0），（2，0），
∴椭圆的焦点在横轴上，并且c=2，
∴由椭圆的定义可得：2a=6，即a=3，
∴由a，b，c的关系解得b²=3²-2²=5，
故椭圆的标准方程为

x2

9

+

y2

5

=1；
（Ⅱ）由于离心率e=

c

a

=

3

2

，得c2=

3

4

a2，b2=a2-c2=

1

4

a2，
当椭圆焦点在x轴上时，a=2，∴b²=1，∴所求椭圆方程为

x2

4

+y2=1；
当椭圆焦点在y轴上时，b=2，∴a²=16，∴所求椭圆方程为

x2

4

+

y2

16

=1．

点评：本题主要考查椭圆的标准方程与椭圆的定义，以及考查椭圆的简单性质，考查分类讨论的数学思想，此题属于基础题．