Question

【题目】已知曲线，为曲线上一动点，过作两条渐近线的垂线，垂足分别是和.

（1）当运动到时，求的值；

（2）设直线（不与轴垂直）与曲线交于、两点，与轴正半轴交于点，与轴交于点，若，，且，求证为定点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析；

【解析】

（1）确定两条渐近线方程，求出点到两条渐近线的距离，再计算与夹角的余弦值，应用向量的数量积公式，即可求得结论.

（2）设而不解，联立直线与双曲线方程得到根与系数的关系，再利用向量式，，将表示出来，代入化简即可证得为定点.

解：（1）由曲线，得渐近线方程为，作示意图如图所示：

设，，则

则 ，

又 ，

.

（2）设，，，设直线的斜率为，

则，又，得

得，

由，则，即，

得 ，又，同理，

则

得，则，

得，又，得，即为定点.