Question

【题目】若数列{an}中的项都满足a2n﹣1=a2n＜a2n+1（n∈N*），则称{an}为“阶梯数列”．
（1）设数列{bn}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），求b2016；
（2）设数列{cn}是“阶梯数列”，其前n项和为Sn ， 求证：{Sn}中存在连续三项成等差数列，但不存在连续四项成等差数列；
（3）设数列{dn}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），记数列{ }的前n项和为Tn ， 问是否存在实数t，使得（t﹣Tn）（t+ ）＜0对任意的n∈N*恒成立？若存在，请求出实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：设数列{bn}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），

∴数列{b2n﹣1}是等比数列，首项为1，公比为9．

∴b2016=b2015=b2×1008﹣1=1×91008﹣1=91007=32014

（2）证明：∵数列{cn}是“阶梯数列”，∴c2n﹣1=c2n．

∴S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1，因此{Sn}中存在连续三项成等差数列．

假设{Sn}中存在连续四项成等差数．∴Sn+1﹣Sn=Sn+2﹣Sn+1=Sn+3﹣Sn+2，

∴an+1=an+2=an+3，

n=2k﹣1时，a2k=a2k+1=a2k+2，与数列{cn}是“阶梯数列”矛盾；

同理n=2k时，也得出矛盾

（3）解：设数列{dn}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），

∴数列{d2n﹣1}是等差数列，公差为2，首项为1．

∴d2n﹣1=1+2（n﹣1）=2n﹣1=d2n．

= = = ．

n=2k（k∈N*）时，Tn=T2k= + +…+

=2

=2× ×

=1﹣ =1﹣ = ．

∴Tn∈ ， ∈ ．

∴（t﹣Tn）（t+ ）＜0，

∴ ＜t＜Tn，解得﹣1≤t ．①

n=2k﹣1（k∈N*）时，Tn=T2k﹣ =T2k﹣

=1﹣ ﹣ （12k﹣1﹣12k+1）=1﹣ ∈ ，

∴ ∈[﹣3，﹣1）．

∴（t﹣Tn）（t+ ）＜0，

∴ ＜t＜Tn，∴﹣1≤t ．②．

由①②可得：实数t的取值范围是﹣1≤t

【解析】（1）设数列{bn}是“阶梯数列”，且b1=1，b2n+1=9b2n﹣1（n∈N*），b2016=b2015 ， 再利用等比数列的通项公式即可得出．（2）由数列{cn}是“阶梯数列”，可得c2n﹣1=c2n ． 即可得出S2n﹣1﹣S2n﹣2=S2n﹣S2n﹣1 ， 即可证明{Sn}中存在连续三项成等差数列．假设{Sn}中存在连续四项成等差数．Sn+1﹣Sn=Sn+2﹣Sn+1=Sn+3﹣Sn+2 ， 可得an+1=an+2=an+3 ， 得出矛盾．（3）设数列{dn}是“阶梯数列”，且d1=1，d2n+1=d2n﹣1+2（n∈N*），利用等差数列的通项公式可得：d2n﹣1=2n﹣1=d2n ． = = ．n=2k（k∈N*）时，Tn=T2k= + +…+ =2 ，利用“裂项求和”及其数列的单调性可得Tn∈ ，由（t﹣Tn）（t+ ）＜0，可得 ＜t＜Tn ． n=2k﹣1（k∈N*）时，Tn=T2k﹣ =T2k﹣ ，同理可得．
【考点精析】本题主要考查了等差数列的通项公式（及其变式）和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握通项公式：或；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．