Question

【题目】设中心在原点O，焦点在x轴上的椭圆C过点，F为C的右焦点，⊙F的方程为

（1）求C的方程；

（2）若直线与⊙O相切，与⊙F交于M、N两点，与C交于P、Q两点，其中M、P在第一象限，记⊙O的面积为，求取最大值时，直线l的方程.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）由圆的方程求出圆心坐标即得焦点方程，由椭圆上的点到两焦点的距离和得长轴长，从而有，再把点的坐标代入椭圆方程，及值可求得得椭圆标准方程；

（2）先确定与圆和椭圆的位置关系，为下面作距离的差做准备．直线方程与椭圆方程联立，消元后的二次方程，设，由韦达定理，得

,.由椭圆中的弦长公式得，然后求，由原点到直线的距离求得圆半径得面积，求出后用基本不等式可求得最大值及此时的值，得直线方程．

（1）解：设C的方程为.

由题设知①

因为⊙F的标准方程为，

所以F的坐标为，半径.

设左焦点为，则的坐标为.

由椭圆定义，可得

②

由①②解得.

所以C的方程为.

（2）由题设可知，M在C外，N在C内，P在⊙F内，Q在⊙F外，在直线l上的四点满足

.

由消去y得

因为直线l过椭圆C内的右焦点F，

所以该方程的判别式恒成立.

设

由韦达定理，得

.

又因为⊙F的直径,

所以

.

可化为.

因为l与⊙O相切，所以⊙O的半径，

所以.

所以

.

当且仅当，即时等号成立.

因此，直线l的方程为.