Question

（2013•浙江模拟）在锐角△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对边长，且满足sin2A=sin(

π

3

+B)•sin(

π

3

-B)+sin2B．
（1）求角A的大小；
（2）若

AB

•

AC

=12，a=2

7

，求b，c（b＜c）．

Answer 1

分析：（1）在锐角△ABC中，利用两角和差的正弦公式化简所给的等式求得sinA=

3

2

，可得 A 的值．
（2）利用两个向量的数量积的定义化简条件求得 bc=24，再由余弦定理可得 b+c=10，结合b＜c 可得 b、c的值．

解答：解：（1）在锐角△ABC中，∵sin2A=sin(

π

3

+B)•sin(

π

3

-B)+sin2B=（ sin

π

3

cosB+cos

π

3

sinB）（sin

π

3

cosB-cos

π

3

sinB）+sin²B
=（

3

2

cosB+

1

2

sinB）（

3

2

cosB-

1

2

sinB）+sin²B=

3

4

cos²B-

1

4

sin²B+sin²B=

3

4

（cos²B+sin²B）=

3

4

，
即 sin²A=

3

4

，故有sinA=

3

2

，∴A=

π

3

．
（2）若

AB

•

AC

=12，a=2

7

，则有 12=bc•cosA=

1

2

bc，∴bc=24  ①．
再由余弦定理可得 (2

7

)2=b²+c²-2bc•cosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=（b+c）²-72，
故有 b+c=10  ②．
再由b＜c，结合①、②可得 b=4，c=6．

点评：本题主要考查两角和差的正弦公式、同角三角函数的基本关系，余弦定理以及两个向量的数量积的定义，属于中档题．