Question

已知x，y为正数．
（1）若

1

x

+

9

y

=1，求x+2y的最小值；（2）若x+2y=2，求

xy

的最大值．

Answer 1

分析：（1）运用均值不等式计算，将1还原（x+2y）与（

1

x

+

9

y

）乘积做均值．
（2）运用均值不等式，

xy

=

1

2

x•2y

≤

1

2

x+2y

2

=

2

2

解答：解：（1）∵

1

x

+

9

y

=1，
∴x+2y=（x+2y）（

1

x

+

9

y

）=1+18+

2y

x

+

9x

y

≥19+2

2y x × 9x y

=19+6

2

．
当且仅当

2y

x

=

9x

y

时，上式取等号．所以x+2y的最小值为19+6

2

．
答案：x+2y的最小值为19+6

2

（2）

xy

=

1

2

x•2y

≤

1

2

•

x+2y

2

=

2

2

．
当且仅当

x

=

2y

即x=1，y=

1

2

时等号成立．
答案：

xy

的最大值为

2

2

点评：此题考查均值不等式的运用，要知道1=

1

x

+

9

y

的反用此法在均值计算中经常用到，学生要熟练掌握．