Question

如图，在边长为1的等边△ABC中，D、E分别为边AB、AC上的点，若A关于直线DE的对称点A₁恰好在线段BC上，
（1）①设A₁B=x，用x表示AD；②设∠A₁AB=θ∈[0°，60°]，用θ表示AD
（2）求AD长度的最小值．

Answer 1

分析：（1）①设A₁B=x，通过三角形直接表示AD，②设∠A₁AB=θ∈[0°，60°]，用余弦定理表示x与y的关系，利用正弦定理求出AA₁，然后用θ表示AD．
（2）利用换元法以及基本不等式直接求出求AD长度的最小值．通过两角和的正弦函数化简AD的表达式，通过θ的范围求解三角函数的最值．

解答：解：（1）设A₁B=x，AD=y，在△A₁BD中，BD=1-y，A₁D=AD=y，
由余弦定理可得y²=（1-y）²+x²-2x（1-y）cos60°
=（1-y）²+x²-x+xy，
∴x²-x+xy-2y+1=0，y=

x2-x+1

2-x

（0≤x≤1），
设∠A₁AB=θ∈[0°，60°]，
则在△A₁BAz中，由正弦定理得，

AA1

sin60°

=

AB

sin∠AA1B

=

AB

sin(θ+60°)

，
∴AA₁=

3

2sin(θ+60°)

∴AD=

1

2

•

AA1

cosθ

=

3

4sin(θ+60°)cosθ

   θ∈[0°，60°]
（2）y=

x2-x+1

2-x

（0≤x≤1），
令t=2-x∈[1，2]，∴y=

t2-3t+3

t

=t+

3

t

-3≥2

3

-3
当且仅当t=

3

时，即x=2-

3

时等号成立，AD长度的最小值为2

3

-3．
AD=

1

2

•

AA1

cosθ

=

3

4sin(θ+60°)cosθ

∵4sin（θ+60°）cosθ=2siθcosθ+2

3

cos²θ=sin2θ+

3

（1+cos2θ）=2sin（2θ+60°）+

3

．
因为θ∈[0°，60°]
所以2θ+60°∈[60°，180°]∴sin（2θ+60°）∈[0，1]，
4sin（θ+60°）cosθ∈[

3

，2+

3

]，∴AD≥

3

2+ 3

=

3

（2-

3

），
∴AD长度的最小值为2

3

-3，当且仅当θ=

π

12

时取最小值．

点评：本题考查解三角形的知识，余弦定理的应用，两角和的正弦函数，三角函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查计算能力．