Question

甲、乙、丙三人独立完成某项任务的概率分别为

1

2

，P，

1

4

．且他们是否完成任务互不影响．
（Ⅰ）若p=

1

3

，设甲、乙、丙三人中能完成任务人数为X，求X的分布列和数学期望EX；
（Ⅱ）若三人中只有丙完成了任务的概率为

1

20

，求p的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据题意，设甲、乙、丙三人各自完成任务”分别为事件A、B、C，分析可得，X的所有可能取值为0，1，2，3；由相互独立事件概率的乘法公式可得P（X=0）、P（X=1）、P（X=2）、P（X=3），即可得X的分步列，由期望的计算公式可得E（X）．
（Ⅱ）设“三人中只有丙完成了任务”为事件E，易得P（E）=P（

.

A

•

.

B

•C），结合题意代入数据可得

1-p

8

=

1

20

，解可得P的值．

解答：解：设“甲、乙、丙三人各自完成任务”分别为事件A、B、C，
所以P（A）=

1

2

，P（B）=p，P（C）=

1

4

，且A、B、C相互独立．
（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3．
因为p=

1

3

，所以P（B）=

1

3

．
所以P（X=0）=P（

.

A

•

.

B

•

.

C

）=（1-

1

2

）×（1-

1

3

）×（1-

1

4

）=

1

4

，
P（X=1）=P（A•

.

B

•

.

C

）+P（

.

A

•B•

.

C

）+P（

.

A

•

.

B

•C）=

1

4

+

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

=

11

24

，
P（X=2）=P（A•B•

.

C

）+P（A•

.

B

•C）+P（

.

A

•B•C）=

1

2

×

1

3

×

3

4

+

1

2

×

2

3

×

1

4

+

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

4

，
P（X=3）=P（A•B•C）=

1

2

×

1

3

×

1

4

=

1

24

．
所以X分布列为：

X	0	1	2	3
P	1 4	11 24	1 4	1 24

所以，E(X)=0×

1

4

+1×

11

24

+2×

1

4

+3×

1

24

=

13

12

．
（Ⅱ）设“三人中只有丙完成了任务”为事件E，
所以P（E）=P（

.

A

•

.

B

•C）=（1-

1

2

）×（1-p）×

1

4

=

1-p

8

，
所以

1-p

8

=

1

20

解可得p=

3

5

．

点评：本题考查相互独立事件的概率计算以及随机变量的分步列、期望的计算，计算期望时，需要注意提高计算的准确性．