Question

在数列{a_n}中，a₁=1，当n≥2时，a_n,S_n,S_n－成等比数列.

(1)求a₂,a₃,a₄，并推出a_n的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论；

(3)求数列{a_n}所有项的和.

Answer 1

（1）a₂=－ a₃=－ a₄=－

（3）S=S_n=0

解析:

∵a_n,S_n,S_n－成等比数列，∴S_n²=a_n·(S_n－)(n≥2)                      

(1)由a₁=1,S₂=a₁+a₂=1+a₂,代入(^*)式得:a₂=－

由a₁=1，a₂=－,S₃=+a₃代入(^*)式得：a₃=－

同理可得：a₄=－,由此可推出：a_n=

(2)①当n=1,2,3,4时，由(^*)知猜想成立.

②假设n=k(k≥2)时，a_k=－成立

故S_k²=－·(S_k－)

∴(2k－3)(2k－1)S_k²+2S_k－1=0

∴S_k= (舍)

由S_k+1²=a_k+1·(S_k+1－),得(S_k+a_k+1)²=a_k+1(a_k+1+S_k－)

由①②知，a_n=对一切n∈N成立.

(3)由(2)得数列前n项和S_n=,∴S=S_n=0