Question

【题目】已知直线，函数.

（1）当，时，证明：曲线在直线的上方；

（2）若直线与曲线有两个不同的交点，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）证明过程详见解析（2）

【解析】

（1）可令，求二阶导数，判断函数单调性，由单调性即可得证；

（2）令求得导数，讨论a的符号，以及函数s（x）的单调性，求得最值，解不等式即可得到所求范围.

（1）令，则，

令，则

当时，，所以在上，为增函数，

所以，从而也为增函数，得.

故，即曲线在直线的上方.

（2）令，则，

当时，，得在上单调递减，不合题意；

当时，令，得，

所以在上为减函数，在上为增函数，

由已知函数有两个零点，

所以，得，

此时，所以在上有且只有一个零点.

由（1）得当时，

，

所以.

由（1）知，当时，得，则

所以，所以在上有且只有一个零点，

综上，.