Question

【题目】已知函数，．

（Ⅰ）若在上是增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）讨论函数的极值，并说明理由；

（Ⅲ）若有两个极值点，，求证：函数有三个零点．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，无极值；当时，存在一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）见解析

【解析】

（Ⅰ）利用得；利用导数求得的最小值，则；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，函数单调递增，无极值；当，可证得有两根，即有两根，从而可得函数的单调性，进而确定有一个极大值和一个极小值；（Ⅲ）由（Ⅱ）知且；利用和表示，代入函数中，可表示出和；根据和设，通过导数可验证出单调递减，进而求得，，结合图象可证得结论.

（Ⅰ）由得：

在上是增函数 在上恒成立

即：在上恒成立

设，则

当时，；当时，

即在上单调递减；在上单调递增

即的取值范围为：

（Ⅱ）由（Ⅰ）知：当时，在上是增函数，此时无极值；

当时，令，即

时，；；时，

有两个根，设两根为，且

可知：和时，；时，

即在，上单调递增；在上单调递减

在处取得极大值；在处取得极小值

综上所述：当时，无极值；当时，存在一个极大值和一个极小值

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，有两个极值点，，则，且

；

又

令，则

则在上恒成立，即在上单调递减

又 时，；时，

，

当时，；当时，

可得大致图象如下：

有三个零点