Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，且底面与侧面垂直， ， 分别为线段的中点， ， ， ，且.

（1）证明： 平面；

（2）求与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线定理以及线面平行的判定定理可得与平面平面平行，从而可得平面平面，进而根据面面平行的性质可得平面；（2）因为底面与侧面垂直，且，所以底面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，先求出的方向向量，再根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.

试题解析：（1）证明：因为分别为线段的中点， ，所以， ，

又，所以平面平面，

因为平面，所以平面.

（2）解：因为底面与侧面垂直，且，所以底面.

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则， ， ， ，

所以， ，

设是平面的法向量，则，即，

故可取.

设与平面所成角为，则，

故与平面所成角的正弦值为.