Question

(20)已知函数f(x)=4x³-3x²cosθ+，其中x∈R，θ为参数，且0≤θ≤.

    (Ⅰ)当cosθ=0时，判断函数f(x)是否有极值；

    (Ⅱ)要使函数f(x)的极小值大于零，求参数θ的取值范围；

    (Ⅲ)若对(Ⅱ)中所求的取值范围内的任意参数θ，函数f(x)在区间(2a-1，a)内都是增函数，求实数a的取值范围．

Answer 1

本小题主要考查运用导数研究函数的单调性及极值、解不等式等基本知识，考查综合分析和解决问题的能力．

(Ⅰ)解：当cosθ=0时，f(x)=4x³+，则函数f(x)在(-∞，+∞)上是增函数，故无极值．

(Ⅱ)解：f′(x)=12x²-6xcosθ，令f′(x)=0，得

x₁=0，x₂=.

由O≤θ≤及(Ⅰ)，只考虑cosθ＞0的情况．

当x变化时，f′(x)的符号及f(x)的变化情况如下表：

 

x	(-∞,0)	0	（0，）		（，+∞）
f′(x)	+	0	-	0	+
f (x)		极大值		极小值

   

 因此，函数f（x）在x=处取得极小值f（），且

f（）=-.

   要使f（）＞0，必有-＞0，可得0＜cosθ＜，所以

＜θ＜.

（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，函数f（x）在区间（-∞，0）与（，+∞）内都是增函数.

由题设，函数f(x)在(2a-1,a)内是增函数，则a须满足不等式组

由(Ⅱ),参数θ∈（）时，0＜cosθ＜.要使不等式2a-1≥cosθ关于参数θ恒成立，必有2a-1≥.

综上，解得a≤0或≤a＜1.所以a的取值范围是(-∞,0］∪［，1）