Question

对于任意的复数z=x+yi（x，y∈R），定义运算P（z）=x²[cos（yπ）+isin（yπ）]．
（1）集合A={ω|ω=P（z），|z|≤1，Rez，Imz均为整数}，试用列举法写出集合A；
（2）若z=2+yi（y∈R），P（z）为纯虚数，求|z|的最小值；
（3）直线l：y=x-9上是否存在整点（x，y）（坐标x，y均为整数的点），使复数z=x+yi经运算P后，P（z）对应的点也在直线l上？若存在，求出所有的点；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据所给的复数的条件，写出复数的实部和虚部满足的条件，根据要求是整数，列举出所有的情况，得到要求的集合A，用列举法表示出集合．
（2）表示出P（z），根据它是一个纯虚数，得到实部和虚部与0的关系，得到关于三角函数的关系式，得到y，k之间的关系，表示出复数的模长，根据二次函数求出最值．
（3）写出P（z）对应点坐标为（x²cos（yπ），x²sin（yπ）），根据所给的条件得到关系式，根据三角函数的值讨论出对应的复数．

解答：解：（1）

z=x+yi |z|≤1

⇒x2+y2≤1
由于x，y∈Z，得

x=±1 y=0

，

x=0 y=±1

，

x=0 y=0

∴P（±1）=1，P（±i）=0，P（0）=0，
∴A={0，1}
（2）若z=2+yi（y∈R），则P（z）=4[cos（yπ）+isin（yπ）]
若P（z）为纯虚数，则

cosyπ=0 sinyπ≠0

∴y=k+

1

2

，k∈Z
∴|z|=

22+y2

=

(k+ 1 2 )2+4

，k∈Z
∴当k=0或-1时，|z|min=

17

2

．
（3）P（z）对应点坐标为（x²cos（yπ），x²sin（yπ））
由题意：

y=x-9 x2sinyπ=x2cosyπ-9 x，y∈Z

得x²sin（xπ-9π）=x²cos（xπ-9π）-9
所以 x²sinxπ=x²cosxπ+9∵x∈Z
∴①当x=2k，k∈Z时，得x²+9=0不成立；
②当x=2k+1，k∈Z时，得x²-9=0∴x=±3成立
此时

x=3 y=-6

或 

x=-3 y=-12

即z=3-6i或z=-3-12i．

点评：本题考查复数的概念和模长的运算，本题解题的关键是根据所给的条件，表示出复数的意义，本题与其他的知识点结合，是一个综合题目．