Question

（2009•江西）各项均为正数的数列{a_n}，a₁=a，a₂=b，且对满足m+n=p+q的正整数m，n，p，q都有

am+an

(1+am)(1+an)

=

ap+aq

(1+ap)(1+aq)

．
（1）当a=

1

2

，  b=

4

5

时，求通项a_n；
（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数λ，使得对于每个正整数n，都有

1

λ

≤an≤λ．

Answer 1

分析：（1）由

am+an

(1+am)(1+an)

=

ap+aq

(1+ap)(1+aq)

，令m=1，p=2，q=n-1，并将a1=

1

2

，a2=

4

5

代入化简，可得数列{

1-an

1+an

}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，从而可求数列的通项；
（2）记为b_m+n，则bn+1=

a1+an

(1+a1)(1+an)

=

a+an

(1+a)(1+an)

，考察函数 f(x)=

a+x

(1+a)(1+x)

  (x＞0)，则在定义域上有f(x)≥g(a)=

1 1+a ， a＞1 1 2 ， a=1 a 1+a ， 0＜a＜1

，从而对n∈N^*，b_n+1≥g（a）恒成立，结合b2n=

2an

(1+an)2

≥g(a)，即可得证．

解答：（1）解：由

am+an

(1+am)(1+an)

=

ap+aq

(1+ap)(1+aq)

得

a1+an

(1+a1)(1+an)

=

a2+an-1

(1+a2)(1+an-1)

．
将a1=

1

2

，a2=

4

5

代入化简得an=

2an-1+1

an-1+2

．
所以

1-an

1+an

=

1

3

•

1-an-1

1+an-1

，
故数列{

1-an

1+an

}是首项为

1

3

，公比为

1

3

的等比数列，从而

1-an

1+an

=

1

3n

，即an=

3n-1

3n+1

．
（2）证明：由题设

am+an

(1+am)(1+an)

的值仅与m+n有关，记为b_m+n，则bn+1=

a1+an

(1+a1)(1+an)

=

a+an

(1+a)(1+an)

．
考察函数 f(x)=

a+x

(1+a)(1+x)

  (x＞0)，则在定义域上有f(x)≥g(a)=

1 1+a ， a＞1 1 2 ， a=1 a 1+a ， 0＜a＜1

故对n∈N^*，b_n+1≥g（a）恒成立
又 b2n=

2an

(1+an)2

≥g(a)，
注意到0＜g(a)≤

1

2

，解上式得

g(a)

1-g(a)+ 1-2g(a)

=

1-g(a)- 1-2g(a)

g(a)

≤an≤

1-g(a)+ 1-2g(a)

g(a)

，
取λ=

1-g(a)+ 1-2g(a)

g(a)

，即有

1

λ

≤an≤λ．

点评：本题考查数列递推式，考查赋值法的运用，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，难度较大．