Question

已知定点A（0，1），B（0，-1），C（1，0）．动点P满足：

AP

•

BP

=k|

PC

|2．
（1）求动点P的轨迹方程，并说明方程表示的曲线；
（2）当k=2时，求|2

AP

+

BP

|的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）设动点的坐标为P（x，y），得到

AP

，

BP

，

PC

的坐标表示，然后根据

AP

•

BP

=k|

PC

|2．可得答案．
（2）当k=2时确定方程，然后求出向量2

AP

+

BP

的模的表达式，最后根据所求方程的参数方程求最值．

解答：解：（1）设动点的坐标为P（x，y），则

AP

=（x，y-1），

BP

=（x，y+1），

PC

=（1-x，-y）
∵

AP

•

BP

=k|

PC

|²，∴x²+y²-1=k[（x-1）²+y²]即（1-k）x²+（1-k）y²+2kx-k-1=0．
若k=1，则方程为x=1，表示过点（1，0）是平行于y轴的直线．
若k≠1，则方程化为：(x+

k

1-k

)2+y2=(

1

1-k

)2，
表示以（-

k

1-k

，0）为圆心，以

1

|1-k|

为半径的圆．
（2）当k=2时，方程化为（x-2）²+y²=1．
∵2

AP

+

BP

=2（x，y-1）+（x，y+1）=（3x，3y-1），
∴|2

AP

+

BP

|=

9x2+9y2-6y+1

．又x²+y²=4x-3，
∴|2

AP

+

BP

|=

36x-6y-26

∵（x-2）²+y²=1，∴令x=2+cosθ，y=sinθ．
则36x-6y-26=36cosθ-6sinθ+46=6

37

cos（θ+φ）+46∈[46-6

37

，46+6

37

]，
∴|2

AP

+

BP

|_max=

46+6 37

=3+

37

，|2

AP

+

BP

|_min=

46-6 37

=

37

-3．

点评：本题主要考查通过向量的有关运算求轨迹方程的问题．对向量的有关题型比如：求模、求夹角、求垂直以及平行等的问题一定要强化练习，是高考的热点问题．