Question

已知集合A={x∈R|0＜ax+1≤5}，B={x∈R|-

1

2

＜x≤2}
（1）A，B能否相等？若能，求出实数a的值，若不能，试说明理由？
（2）若命题p：x∈A，命题q：x∈B且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）集合相等，转化为元素间的相等关系求解
（2）p⇒q得A⊆B且A≠B，转化为集合的关系求解．

解答：解：（1）若A=B显然a=0时不满足题意
当a＞0时A={x|-

1

a

＜x≤

4

a

}∴

- 1 a =- 1 2 4 a =2

⇒a=2
当a＜0时A={x|

4

a

≤x＜-

1

a

}显然A≠B
故A=B时，a=2
（2）p⇒q得A⊆B且A≠B
0＜ax+1≤5⇒-1＜ax≤4
当a=0时，A=R不满足．
当a＞0时，A={x|-

1

a

＜x≤

4

a

}则

- 1 a ≥- 1 2 4 a ＜2

或

- 1 a ＞- 1 2 4 a ≤2

解得a＞2
当a＜0时，A={x|

4

a

≤x＜-

1

a

}则

4 a ＞- 1 2 - 1 a ≤2

⇒a＜-8
综上p是q的充分不必要条件，实数a的取值范围是a＞2，或a＜-8

点评：本题考查集合间的关系，一般化为元素间的关系求解．