Question

如图，四棱锥P-ABCD的底面为矩形，侧面PAD是正三角形，且侧面PAD⊥底面ABCD，E 是侧棱PD上一点，且PB∥平面EAC．
（Ⅰ）求证：E是PD的中点；
（Ⅱ）求证：AE⊥平面PCD．

Answer 1

分析：（1）证明：连接BD交AC于O，连接EO，则O为BD的中点，由于E是侧棱PD上一点，且PB∥平面EAC，利用线面平行的性质定理，可得线线平行，从而可得E是PD的中点；
（2）先证明CD⊥侧面PAD，从而可得面PDC⊥侧面PAD，进而可证AE⊥平面PCD．

解答：证明：（1）连接BD交AC于O，连接EO，则O为BD的中点
∵E是侧棱PD上一点，且PB∥平面EAC，
又PB?平面PBD，EO=平面EAC∩平面PBD，
∴PB∥EO．
∵O为为BD的中点
∴E是PD的中点；
（2）∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD
∵侧面PAD⊥底面ABCD，侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CD⊥侧面PAD
∵CD?面PDC，∴面PDC⊥侧面PAD
正三角形PAD中，E为PD的中点，所以AE⊥PD，
∵面PDC∩面PAD=PD，∴AE⊥平面PCD．

点评：本题主要考查线面平行，线面垂直的证明方法．考查学生的空间想象能力，识图的能力，严密的逻辑思维能力．