Question

（本小题共12分）已知函数，

⑴若函数f(x)在区间（0，2）上递减，在[2，+∞）上递增，求a的值；

⑵在①的条件下是否存在实数m，使得函数的图像与函数的图像恰好有三个不同的交点，若存在，请求出实数m的取值范围；若不存在，请说明理由。

 

Answer 1

【答案】

⑴

⑵m∈(－∞，－3) ∪（1，+∞）理由略

【解析】解：⑴                            （2分）

∵函数f(x)在区间（0，2）上递减，在[2，+∞）上递增，所以一定有

即                （4分）

⑵由⑴知a=1，

故此时的图像与函数的图像恰好有三个不同的交点。

即方程

化简为有三个不同的实根             （8分）

即x[x²－(m+1)x+1]＝0

解得x＝0或x²-(m+1)x+1＝0                                   （10分）

∴ 方程x²－（1+m）x+1＝0必有两个非零相异实根，

∴△＝（1+m）²－4＞0

∴m>1或m<－3

即m∈(－∞，－3) ∪（1，+∞）                              （12分）