Question

【题目】已知抛物线的焦点到准线的距离为，直线与抛物线交于两点，过这两点分别作抛物线的切线，且这两条切线相交于点.

（1）若的坐标为，求的值；

（2）设线段的中点为，点的坐标为，过的直线与线段为直径的圆相切，切点为，且直线与抛物线交于两点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）抛物线的焦点到准线的距离为可得，从而得到抛物线的方程，然后设出切线切线的方程为，由求得，由切点在抛物线上可得到，即为所求。（2）由（1）得到以线段为直径的圆为圆。由题意只需考虑斜率为正数的直线即可，根据几何知识得，故的方程为，由弦长公式可得，又，所以，最后根据可得。

试题解析：

（1）由抛物线的焦点到准线的距离为，得，

则抛物线的方程为.

设切线的方程为，代入得，

由得，

当时，点的横坐标为，

则，

当时，同理可得.

综上得。

（2）由（1）知， ，

所以以线段为直径的圆为圆，

根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线即可，

因为为直线与圆的切点，

所以， ，

所以，

所以，

所以直线的方程为，

由消去整理得，

因为直线与圆相交，所以。

设，则，

所以，

所以，

设，因为，所以，

所以，

所以.