Question

已知f（x）=（2x-3）ⁿ展开式的二项式系数和为512，且（2x-3）ⁿ=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ
（1）求a₂的值；
（2）求a₁+a₂+a₃+…+a_n的值；
（3）求f（20）-20除以6的余数．

Answer 1

分析：（1）根据二项式定理，由f（x）=（2x-3）ⁿ展开式的二项式系数和为512，可得n=9；将n=9代入（2x-3）ⁿ中，变形可得[2（x-1）-1]⁹，则a₂为其展开式中（x-1）²的系数，由二项式定理可得答案；
（2）由（1）的结论，用赋值法，在（2x-3）⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ中，令x=1，可得a₀的值，令x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n的值，两者相减，可得答案；
（3）根据题意，可得f（20）-20=37⁹-20，变形可得f（20）-20=（36+1）⁹-20，由二项式定理展开可得f（20）-20=C₉⁰36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36-19，进而由整出整除的性质分析可得答案．

解答：解：（1）根据题意，f（x）=（2x-3）ⁿ展开式的二项式系数和为512，
则2ⁿ=512，解可得n=9；
（2x-3）⁹=[2（x-1）-1]⁹，则a₂=C₉⁷2²（-1）⁷=-144，
（2）在（2x-3）⁹=a₀+a₁（x-1）+a₂（x-1）²+…+a_n（x-1）ⁿ中，
令x=1，可得a₀=（2×1-3）⁹=-1，
令x=2，可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n=（2×2-3）⁹=1，
则a₁+a₂+a₃+…+a_n=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_n-a₀=1-（-1）=2；
（3）f（20）-20=37⁹-20=（36+1）⁹-20=C₉⁰36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36+C₉⁹-20
=C₉⁰36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36-19；
因为（C₉⁰36⁹+C₉¹36⁸+C₉²36⁷+…+C₉⁸36）能被6整除，而-19=（-4）×6+5，即-19被6整除后余数为5；
则f（20）-20除以6的余数为5．

点评：本题考查二项式定理的运用，易错点为（3）中，对-19求余数，根据-19=（-4）×6+5，即-19被6整除后余数为5．