Question

【题目】设，

（Ⅰ）求的单调区间和最小值；

（Ⅱ）讨论与的大小关系；

（Ⅲ）求的取值范围，使得对任意成立．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的单调减区间是，单调递增区间是，最小值为；（II）当时， ，当时， ；（III）.

【解析】试题分析：（I）求导，并判断导数的符号确定函数的单调区间和极值、最值，即可求得结果；（Ⅱ）通过函数的导数，利用函数的单调性，比较两个函数的大小关系即可；（Ⅲ）利用（Ⅰ）的结论，转化不等式，求解即可．

试题解析：（Ⅰ）由题设知、，∴，令，得

当时， ，故是的单调减区间．

当时， ，故是的单调递增区间，因此，

是的唯一值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以最小值为.

（Ⅱ）设，则，当时， 即，当，时，因此在内单调递减，当时， 即．当时， 即

（Ⅲ）由（Ⅰ）知的最小值为，所以， ，对任意，成立，即，从而得．