Question

设直线l：y=k（x+1）与椭圆x²+3y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（Ⅰ）证明：a2＞

3k2

1+3k2

；
（Ⅱ）若

AC

=2

CB

，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程．

Answer 1

分析：（I）设直线l的方程为y=k（x+1），将直线的方程代入抛物线的方程，消去x得到关于y的一元二次方程，再结合直线l与椭圆相交于两个不同的点得到根的判别式大于0，从而解决问题．
（II）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由（I），得y1+y2=

2k

1+3k2

，由

AC

=2

CB

，得y₂=

-2k

1+3k2

从而求得△OAB的面积，最后利用基本不等式求得其最大值，及取值最大值时的k值，从而△OAB的面积取得最大值时椭圆方程即可．

解答：解：（Ⅰ）依题意，直线l显然不平行于坐标轴，
故y=k（x+1）可化为x=

1

k

y-1
将x=

1

k

y-1代入x²+3y²=a²，消去x，
得(

1

k2

+3)y2-

2

k

y+1-a2=0①（1分）
由直线l与椭圆相交于两个不同的点，得
△=(-

2

k

)2-4(

1

k2

+3)(1-a2)＞0（2分）
化简整理即得a2＞

3k2

1+3k2

．（☆）（4分）
（Ⅱ）A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由①，得y1+y2=

2k

1+3k2

②（5分）
因为

AC

=(-1-x1，-y1)，

CB

=(x2+1，y2)，由

AC

=2

CB

，
得y₁=-2y₂③（6分）
由②③联立，解得y₂=

-2k

1+3k2

④（7分）
△OAB的面积S=

1

2

|OC|•|y1-y2|=

3

2

|y2|
=

3|k|

1+3k2

≤

3|k|

2 3 |k|

=

3

2

上式取等号的条件是3k²=1，即k=±

3

3

（9分）
当k=

3

3

时，由④解得y2=-

3

3

；
当k=-

3

3

时，由④解得y2=

3

3

．
将k=

3

3

，y2=-

3

3

及k=-

3

3

，y2=

3

3

这两组值分别代入①，
均可解出a²=5（11分）
经验证，a²=5，k=±

3

3

满足（☆）式．
所以，△OAB的面积取得最大值时椭圆方程是x²+3y²=5（12分）
注：若未验证（说明a2=5，k=±

3

3

）满足（☆）式，扣（1分）．

点评：本小题主要考查直线与圆锥曲线的综合问题、基本不等式、椭圆方程等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想．属于中档题．