Question

设直线l：y=k（x+1）（k≠0）与椭圆3x²+y²=a²（a＞0）相交于A、B两个不同的点，与x轴相交于点C，记O为坐标原点．
（1）证明：a2＞

3k2

3+k2

；
（2）若

.

AC

=2

.

CB

，求△OAB的面积取得最大值时的椭圆方程．

Answer 1

分析：（1）把直线l的方程代人椭圆方程，由直线与椭圆相交于A、B两个不同的点可得△＞0，解出即可证明；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．利用根与系数的关系及向量相等得到y₁，y₂的关系及可用k来表示，再利用三角形的面积公式∴△OAB的面积 S=

1

2

|OC|•|y2-y1|及基本不等式的性质即可得出取得面积最大值时的k的值，进而得到a的值．

解答：（1）证明：由y=k（x+1）（k≠0）得x=

1

k

y-1．
并代入椭圆方程3x²+y²=a²消去x得（3+k²）y²-6ky+3k²-k²a²=0   ①
∵直线l与椭圆相交于两个不同的点得△=36k²-4（3+k²）（3k²-k²a²）＞0，
∴a2＞

3k2

3+k2

．
（2）解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由①，得y1+y2=

6k

3+k2

，②
∵

AC

=2

CB

，而点C（-1，0），
∴（-1-x₁，-y₁）=2（x₂+1，y₂），
得y₁=-2y₂代入②，得y2=

-6k

3+k2

，③
∴△OAB的面积 S=

1

2

|OC|•|y2-y1|=

3

2

|y2|=

9|k|

3+k2

≤

9|k|

2 3 |k|

=

3 3

2

，当且仅当k²=3，即k=±

3

时取等号．
把k的值代人③可得y2=±

3

，
将

k= 3 y2=- 3

及

k=- 3 y2= 3

这两组值分别代入①，均可解出a²=15．
∴△OAB的面积取得最大值的椭圆方程是3x²+y²=15．

点评：本题综合考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、△＞0、向量相等、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能，考查了推理能力和计算能力．