Question

【题目】已知椭圆： 的离心率为，点为左焦点，过点作轴的垂线交椭圆于、两点，且.

（1）求椭圆的方程；

（2）若是椭圆上异于点的两点，且直线的倾斜角互补，则直线的斜率是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2)定值

【解析】

试题分析：（1）由离心率为得，由得，联立解得,，即可得椭圆的方程；

（2），根据题意可设直线的斜率为，则：，联立直线与椭圆，利用韦达定理点M坐标，，，由于直线与的斜率互为相反数，只要将上述换成，就可得点N坐标，即可计算直线的斜率为定值.

试题解析：

（1）

,

椭圆的方程为：

（2），根据题意可设直线的斜率为

则：

由，得：

设，，则

于是

由于直线与的斜率互为相反数，只要将上述换成，就可得：

，

，为定值.