Question

【题目】设、为平面向量，若存在不全为零的实数λ，μ使得λμ0，则称、线性相关，下面的命题中，、、均为已知平面M上的向量．

①若2，则、线性相关；

②若、为非零向量，且⊥，则、线性相关；

③若、线性相关，、线性相关，则、线性相关；

④向量、线性相关的充要条件是、共线．

上述命题中正确的是 （写出所有正确命题的编号）

Answer 1

【答案】①④

【解析】

利用和 线性相关 等价于 和 是共线向量，故①正确，②不正确，④正确．通过举反例可得③不正确．

解：若、线性相关，假设λ≠0，则，故 和 是共线向量．

反之，若 和 是共线向量，则 ，即λμ0，故 和 线性相关．

故 和 线性相关 等价于 和 是共线向量．

①若2 ，则 2 0，故 和 线性相关，故①正确．

②若 和 为非零向量，⊥，则 和 不是共线向量，不能推出和 线性相关，故②不正确．

③若和 线性相关，则 和 线性相关，不能推出若和 线性相关，例如当 时，

和 可以是任意的两个向量．故③不正确．

④向量和 线性相关的充要条件是 和 是共线向量，故④正确．

故答案为 ①④．