如图.已知动直线经过点.交抛物线于两点.坐标原点是的中点.设直线的斜率分别为. (1)证明: (2)当时.是否存在垂直于轴的直线.被以为直径的圆截得的弦长为定值?若存在.请求出直线的方程,若不存在.请说明理由. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，已知动直线经过点，交抛物线于两点，坐标原点是的中点，设直线的斜率分别为.

（1）证明：

（2）当时，是否存在垂直于轴的直线，被以为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

【答案】

解：（1）设直线方程为，与抛物线方程联立可得：，

再设点，，则

所以，故-----（7分）

（2）因为，所以抛物线的方程为：记线段中点即圆心为，则圆的半径，假设存在这样的直线，记作若要满足题意，只需为常数即可。--------（10分）

故=

所以，时，能保证为常数，故存在这样的直线满足题意。-----（15分）

【解析】略

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如图，已知动直线l经过点P（4，0），交抛物线y²=2ax（a＞0）于A，B两点，坐标原点O是PQ的中点，设直线AQ，BQ的斜率分别为k₁，k₂．
（1）证明：k₁+k₂=0；
（2）当a=2时，是否存在垂直于x轴的直线l′，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线l′的方程；若不存在，请说明理由．

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科目：高中数学 来源：浙江省模拟题 题型：解答题

如图，已知动直线l经过点P（4，0），交抛物线y²=2ax（a＞0）于A，B两点，坐标原点O是PQ的中点，设直线AQ，BQ的斜率分别为k₁，k₂，
（1）证明：k₁+k₂=0；
（2）当a=2时，是否存在垂直于x轴的直线l′，被以AP为直径的圆截得的弦长为定值？若存在，请求出直线l′的方程；若不存在，请说明理由。