Question

【题目】已知函数的极小值为．

（1）求实数k的值；

（2）令，当时，求证：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析.

【解析】

（1）求出导数，研究函数的单调性，得极值，由极小值为求得值；

（2）由（1）得，令，同样由（1）可得的单调性（导数利用（1）中结论），这样得到关于u的不等式的解集应是单调递增区间的子集，而，从而，接着要证题中不等式，可先证，这又可设，，换元后同样由导数研究函数的单调性最值，证得不等式成立．

（1）显然，，由题意得：

令得：

若，则当时，；

当时，，此时为极小值点，合题意．

由得：．

若，显然不合题意．

所以．

（2）由题意得：，令

由（1）易知在单调递减，且；在单调递增

故关于u的不等式：的解集应是单调递增区间的子集

又，从而

令

．

令，则

所以

显然当时，；当时，

从而在单调递增，在单调递减

所以

又，所以，从而

于是，即

又

故．