Question

设S={r₁，r₂，…，r_n}⊆{1，2，3，…，50}，且S中任意两数之和不能被7整除，则n的最大值为

23

．

Answer 1

分析：由已知中S⊆{1，2，3，…，50}，且S中任意两数之和不能被7整除，我们可根据1～50中各数除以7的余数将数分为7类，进而分析出集合S中元素的最多个数，得到答案．

解答：解：可将S集合分为6组
S₀={7，14，21，28，35，42，49}，则card（S₀）=7
S₁={1，8，15，22，29，36，43，50}，则card（S₁）=8
S₂={2，9，16，23，30，37，44}，则card（S₂）=7
S₃={3，10，17，24，31，38，45}，则card（S₃）=7
S₄={4，11，18，25，32，39，46}，则card（S₄）=7
S₅={5，12，19，26，33，40，47}，则card（S₅）=7
S₆={6，13，20，27，34，41，48}，则card（S₆）=7
S中的任何两个数之和不能被7整除，故S₁和S₆，S₂和S5，S₃和S₄中不能同时取数，且S₀中最多取一个
所以最多的取法是取S₁，S₂（或S₅），S₃（或S₄），和S₀中的一个
故card（S）max=8+7+7+1=23
故答案为23

点评：本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用，其中根据已知对1～50各数根据除以7的余数将数分为7类，进而分析出结果，是解答本题的关键．