Question

已知函数
（I）求曲线在处的切线方程。
（II）设如果过点可作曲线的三条切线，证明：

Answer 1

（I） 
（II）通过研究函数的极大值和极小值分别为和，由的单调性可知，
当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当极大值或极小值时，方程只有两个相异的实数根；
从而，且方程才有三个相异的实数根．即可得证

解析试题分析：（I）求函数的导数：．
曲线在点处的切线方程为 
（II）如果有一切线过点，则存在使得于是，若过点可作曲线的三条切线，则转化为方程有三个相异的实数根。
记，则 
时，则在此区间单调递增；
时，则在此区间单调递减；
时，则在此区间单调递增；
可求得函数的极大值和极小值分别为和。
由的单调性可知，
当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当极大值或极小值时，方程只有两个相异的实数根；
依题意：且方程才有三个相异的实数根．
即可得证
考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性及极值，方程根的讨论。
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，通过求确定处导函数值，得到切线的斜率，进一步可求切线方程。讨论方程的根，可通过讨论函数的单调性及极值情况，认识切线特征，得到解题目的。