Question

【题目】已知椭圆：的离心率为，且与抛物线交于，两点， （为坐标原点）的面积为．

（1）求椭圆的方程；

（2）如图，点为椭圆上一动点（非长轴端点），为左、右焦点，的延长线与椭圆交于点，的延长线与椭圆交于点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

(1)由题意求得a,b,c的值即可确定椭圆方程；

(2)分类讨论直线的斜率存在和斜率不存在两种情况，联立直线方程与椭圆方程，结合韦达定理和均值不等式即可确定三角形面积的最大值.

（1）椭圆与抛物线交于，两点，

可设，，

∵的面积为，

∴，解得，∴，，

由已知得，解得，，，

∴椭圆的方程为.

（2）①当直线的斜率不存在时，不妨取，，，故

；

②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，

联立方程，化简得，

则，

，，

，

点到直线的距离，

因为是线段的中点，所以点到直线的距离为，

∴

∵，又，所以等号不成立.

∴，

综上，面积的最大值为.