Question

（本题满分12分）如图，已知是底面边长为1的正四棱柱，
（1）证明：平面平面
（2）当二面角的平面角为120°时，求四棱锥的体积。

Answer 1

（1）见解析；（2）.

本试题主要是考查了同学们的空间想象能力和逻辑推理能力，以及计算能力的综合运用。对于面面垂直的判定定理的运用和线面垂直的判定定理和性质定理的灵活运用，是解决该试题的关键，同时也考查了二面角的求解问题，以及锥体的体积的问题的运用。
（1）要证明面面垂直，先分析线面垂直然后利用面面垂直的判定定理求证。
（2）根据二面角的大小，确定出锥体中边的问题，以及线面的位置关系，再结合锥体的体积公式求解。
证明：

（1）平面，平面--------------（1分）
，又----------------------------------（2分）
--------------------------------------------------（3分）
又平面
---------------------------------------------（5分）
（2）方法一：建立如图所示的空间直角坐标系，设，那么
；；；；------（6分）
；；；-------（7分）
假设平面与平面的法向量分别为；，那么
；令
-----------------------------------------------------------------（8分）
同理可以求得： --------------------------------------（9分）

，-------------------------------（11分）
此时，正四棱柱是棱长为1的正方体，且
四棱锥的体积------------------------------（12分）
方法二：过点作于，连接,
容易证得，=--------------------------------------（7分）
所以，且在中，由余弦定理可得：

所以==，又可证得：------------（9分）
,所以在,由等面积法：
=,
即------------（9分）
所以，---------------------------------------------（11分）
此时，正四棱柱是棱长为1的正方体，且
四棱锥的体积-------------------------------------------（12分）