Question

【题目】已知函数，若存在实数，使得对于定义域内的任意实数，均有成立，则称函数为“可平衡”函数，有序数对称为函数的“平衡”数对.

（1）若，判断是否为“可平衡”函数，并说明理由；

（2）若，，当变化时，求证：与的“平衡”数对相同；

（3）若，且、均为函数的“平衡”数对.当时，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）是“可平衡”函数,详见解析（2）证明见解析（3）

【解析】

(1)利用两角和差的正弦公式求解即可.

(2)根据题意可知,对于任意实数,,再列式利用恒成立问题求解即可.

(3)根据“平衡数对”的定义将用关于的三角函数表达,再利用三角函数的取值范围求解即可.

（1）若,则,

,

要使得为“可平衡”函数,需使故对于任意实数均成立,只有,

此时,,故存在,所以是“可平衡”函数.

（2）及的定义域均为,

根据题意可知,对于任意实数,,

即,即对于任意实数恒成立,

只有,,故函数的“平衡”数对为,

对于函数而言,,

所以,

,,

即,故,只有,所以函数的“平衡”数对为,

综上可得函数与的“平衡”数对相同.

（3）,所以,

,所以,

由于,所以,故,,

,

由于,所以时,,

,所以.