Question

如图，已知曲线C₁：x²+y²=1（|x|＜1），C₂：x²=8y+1（|x|≥1），动直线l与C₁相切，与C₂相交于A，B两点，曲线C₂在A，B处的切线相交于点M．
（1）当MA⊥MB时，求直线l的方程；
（2）试问在y轴上是否存在两个定点T₁，T₂，当直线MT₁，MT₂斜率存在时，两直线的斜率之积恒为定值？若存在，求出满足的T₁，T₂点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设半圆C₁上的切点P（x₀，y₀），直线l_AB：x₀x+y₀y=1，代入C₂：x²=8y+1，消去y，利用韦达定理，结合MA⊥MB，求出切点坐标，即可得到直线l的方程；
（2）求出曲线C₂在A，B处的切线，可得两直线的交点坐标，进而利用两直线的斜率之积恒为定值，可得方程组，即可求出满足的T₁，T₂点坐标．

解答：解：（1）设半圆C₁上的切点P（x₀，y₀），直线l_AB：x₀x+y₀y=1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则
代入C₂：x²=8y+1，消去y可得y₀x²+8x₀x-y₀-8=0得：x₁x₂=

-y0-8

y0

．
MA⊥MB时，y_Ay_B=

1

16

x₁x₂=

1

16

•

-y0-8

y0

=-1，得y₀=

8

15

，
又x₀²+y₀²=1，求得：x₀=±

161

15

，
∴所求的直线方程为：±

161

x+8y-15=0．
（2）曲线C₂在A，B处的切线分别为：y=

1

4

x₁x-

1

8

x₁²-

1

8

，y=

1

4

x₂x-

1

8

x₂²-

1

8

，
两直线的交点M（

x1+x2

2

，

1

8

（x₁x₂-1）），即M（-

4x0

y0

，-

1

4

-

1

y0

），
设M（x，y），则由

x=- 4x0 y0 y=- 1 4 - 1 y0

求得：

x0= x 4y+1 y0= -4 4y+1

，代入x₀²+y₀²=1，化得x²=16y²+8y-15，
设T₁（0，t₁），T₂（0，t₂），则
k_MP•k_MQ=

(y-t1)(y-t2)

x2

=

1

16

•

y2-(t1+t2)y+t1t2

y2+ 1 2 y- 15 16

为定值，
必须t₁+t₂=-

1

2

，t₁t₂=-

15

16

，解得：

t1= 3 4 t2=- 5 4

或

t1=- 5 4 t2= 3 4

，不妨取T₁（0，-

5

4

），T₂（0，

3

4

）．

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查切线方程，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．