Question

（四川卷文19）如图，平面平面，四边形与都是直角梯形，，，

分别为的中点

（Ⅰ）证明：四边形是平行四边形；

（Ⅱ）四点是否共面？为什么？

（Ⅲ）设，证明：平面平面；

Answer 1

【解1】：（Ⅰ）由题意知，所以

又，故

所以四边形是平行四边形。

（Ⅱ）四点共面。理由如下：

由，是的中点知，，所以

由（Ⅰ）知，所以，故共面。又点在直线上

所以四点共面。

（Ⅲ）连结，由，及知是正方形

故。由题设知两两垂直，故平面，

因此是在平面内的射影，根据三垂线定理，

又，所以平面

由（Ⅰ）知，所以平面。

由（Ⅱ）知平面，故平面，得平面平面

【解2】：由平面平面，，得平面，

以为坐标原点，射线为轴正半轴，建立如图所示的直角坐标系

（Ⅰ）设，则由题设得

　　

所以于是

又点不在直线上，所以四边形是平行四边形。

（Ⅱ）四点共面。理由如下：

由题设知，所以

又，故四点共面。

（Ⅲ）由得，所以

又，因此即

又，所以平面

故由平面，得平面平面

【点评】：此题重点考察立体几何中直线与直线的位置关系，四点共面问题，面面垂直问题，考察了空间想象能力，几何逻辑推理能力，以及计算能力；

【突破】：熟悉几何公理化体系，准确推理，注意逻辑性是顺利进行解法1的关键；在解法2中，准确的建系，确定点坐标，熟悉向量的坐标表示，熟悉空间向量的计算在几何位置的证明，在有关线段，角的计算中的计算方法是解题的关键。