Question

【题目】如图,正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4,E,F分别是棱AB,BC的中点,EF∩BD=G.求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,

求出平面B1EF的法向量为n，平面BDD1B1的一个法向量为，利用空间向量的数量积证明

n⊥,即可.

证明：以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,

由题意知:D(0,0,0),B1(2,2,4),E(2,0),F(,2,0),

因此=(0,-,-4),=(-, ,0).

设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z)，则n·=-y-4z=0,n·=-x+y=0.

解得x=y,z=-y,令y=1得n=,

又因为平面BDD1B1的一个法向量为=(-2,2,0),而n·=1×(-2)+1×2×0=0,

即n⊥,所以平面B1EF⊥平面BDD1B1.