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    已知f ( x )是定义在（－∞，+∞）上的奇函数，且f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) 对任意x，y∈R都成立．如果当x > 0时，f ( x ) < 0．试判断函数f ( x )在区间（－∞，+∞）上的单调性，并证明你的结论

     

    答案：
    解析：

    任取实数x1，x2，使x1< x2，则  x1－x2 > 0．

    ∵  f ( x )是奇函数，故 －f ( x1 ) = f (－x1)．

    又 f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y )  对任意x，y∈R都成立，

    ∴  f ( x2 )－f ( x1 ) = f ( x2 ) + f (－x1 )

    = f [ x2 + (－x1) ]

    = f ( x2－x1 ) < 0 ，

    即   f ( x2 ) < f (x1 )    ．

    ∴  f ( x ) 在 （－∞，+∞）上是减函数．

     


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