Question

已知，曲线上任意一点分别与点、连线的斜率的乘积为．
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）设直线与轴、轴分别交于、两点，若曲线与直线没有公共点，求证：．

Answer 1

（Ⅰ），．
（Ⅱ）由得，利用曲线与直线没有公共点，，得到，利用，，及均值定理确定
，
从而证得． 

解析试题分析：（Ⅰ）设曲线上任意一点的坐标为．利用依题意点分别与点、连线的斜率的乘积为，转化成代数式，整理可得．
（Ⅱ）由得，利用曲线与直线没有公共点，，得到，利用，，及均值定理确定
，
从而证得． 
试题解析：（Ⅰ）设曲线上任意一点的坐标为．
依题意，且，     ３分
整理得．所以，曲线的方程为：，．   5分
（Ⅱ）由得，
，        7分
由已知条件可知，，所以
，
从而，　　　即．                 13分
考点：1、求轨迹方程，2、直线与椭圆的位置关系，3、均值定理的应用.