Question

如图，ABCD是一块边长为100米的正方形地皮，其中ATPS是一半径为80米的扇形小山，P是弧TS上一点，其余部分都是平地．现一开发商想在平地上建造一个有边落在BC与CD上的长方形停车场PQCR．设∠PAT为θ，长方形停车场面积为S．
（1）试写出S关于θ的函数；
（2）求长方形停车场面积S的最大值与最小值．

Answer 1

解：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，
由ABCD是正方形，PRCQ是矩形，可知PE⊥AB，PF⊥AD，
由∠TAP=θ，可得FP=80cosθ，EP=80sinθ，
∴PR=100-80sinθ，PQ=100-80cosθ，（4分）
∴S=PR•PQ=（100-80sinθ）（100-80cosθ）
=10000-8000（sinθ+cosθ）+6400sinθcosθ
故S关于θ的函数解析式为S=10000-8000（sinθ+cosθ）+6400sinθcosθ
．（6分）
（2）由sinθ+cosθ=t，可得t²=（sinθ+cosθ）²=1+2sinθcosθ，
即 ，
∴S=10000-8000t+3200（t²-1）=3200t²-8000t+6800．　（9分）
又由 ，可得 ，
故 ，
∴S关于t的表达式为S=3200t²-8000t+6800（ ）．（11分）
又由 ，
可知当 时，S取最小值，当t=1时，S取最大值．
故S的最小值为13200-8000，最大值为2000．（14分）
分析：（1）延长RP交AB于E，延长QP交AD于F，由ABCD是正方形，推出S关于θ的函数解析式；
（2）设sinθ+cosθ=t，利用平方关系求出 ，通过θ的范围求出t的范围，得到S关于t的表达式，利用二次函数的性质求出S的最大值．
点评：本题是中档题，考查函数解析式的求法，注意必须注明函数的定义域，利用换元法求出函数的表达式，二次函数的最值的求法，考查计算能力．