Question

（2012•湖南）在直角坐标系xoy中，曲线C₁上的点均在C₂：（x-5）²+y²=9外，且对C₁上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值．
（Ⅰ）求曲线C₁的方程
（Ⅱ）设P（x₀，y₀）（y₀≠±3）为圆C₂外一点，过P作圆C₂的两条切线，分别于曲线C₁相交于点A，B和C，D．证明：当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y），根据对C₁上任意一点M，M到直线x=-2的距离等于该点与圆C₂上点的距离的最小值，可得|x+2|=

(x-5)2+y2

-3且圆C₂上的点位于直线x=-2的右侧，从而可得曲线C₁的方程；
（Ⅱ）当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为（-4，y₀），设切线方程为kx-y+y₀+4k=0，利用直线与圆相切可得72k2+18y0k+y02-9=0，从而可得过P所作的两条切线PA，PC的斜率k₁，k₂是方程的两个实根，设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y₁，y₂，y₃，y₄，从而可得y1y2=

20(y0+4k1)

k1

；同理可得y3y4=

20(y0+4k2)

k2

，由此可得当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．

解答：（Ⅰ）解：设M的坐标为（x，y），由已知得|x+2|=

(x-5)2+y2

-3且圆C₂上的点位于直线x=-2的右侧
∴

(x-5)2+y2

=x+5
化简得曲线C₁的方程为y²=20x
（Ⅱ）证明：当点P在直线x=-4上运动时，P的坐标为（-4，y₀），
∵y₀≠±3，∴过P且与圆C₂相切的直线的斜率k存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为
y-y₀=k（x+4），即kx-y+y₀+4k=0，
∴

|5k+y0+4k|

k2+1

=3，整理得72k2+18y0k+y02-9=0①
设过P所作的两条切线PA，PC的斜率分别为k₁，k₂，则k₁，k₂是方程①的两个实根
∴k1+k2=-

y0

4

②
由

k1x-y+y0+4k1=0 y2=20x

，消元可得k1y2-20y+20(y0+4k1)=0③
设四点A，B，C，D的纵坐标分别为y₁，y₂，y₃，y₄，
∴y₁，y₂是方程③的两个实根
∴y1y2=

20(y0+4k1)

k1

④
同理可得y3y4=

20(y0+4k2)

k2

⑤
由②④⑤可得y1y2y3y4=

20(y0+4k1)

k1

×

20(y0+4k2)

k2

=

400(y02-y02+16k1k2)

k1k2

=6400
∴当P在直线x=-4上运动时，四点A，B，C，D的纵坐标之积为定值为6400．

点评：本题考查轨迹方程，考查直线与圆相切，考查韦达定理的运用，解题的关键是切线与抛物线联立，属于中档题．