Question

已知点A（x₁，y₁）在圆（x-2）²+y²=4上运动，点A不与（0，0）重合，点B（4，y₀）在直线x=4上运动，动点M（x，y）满足

OM

∥

OB

，

OM

=

AB

．动点M的轨迹C的方程为F（x，y）=0．
（1）试用点M的坐标x，y表示y₀，x₁，y₁；
（2）求动点M的轨迹方程F（x，y）=0；
（3）以下给出曲线C的五个方面的性质，请你选择其中的三个方面进行研究，并说明理由．（若你研究的方面多于三个，我们将只对试卷解答中的前三项予以评分）
①对称性；
②顶点坐标（定义：曲线与其对称轴的交点称为该曲线的顶点）；
③图形范围；
④渐近线；
⑤对方程F（x，y）=0，当y≥0时，函数y=f（x）的单调性．

Answer 1

分析：（1）先求出：

OM

=（x，y）.

OB

=（4，y₀）.

AB

=（4-x₁，y₀-y₁）．再由条件得∴

4y-xy0=0 x=4-x1 y=y0-y1

即可解出示y₀，x₁，y₁；
（2）把所求的点A的坐标代入圆（x-2）²+y²=4中，整理即可求出动点M的轨迹方程F（x，y）=0；
（3）①先将方程中的（x，y）换成（x，-y），方程形式不变，得关于X轴对称；
②令y=0得x=0；得曲线的顶点坐标为（0，0）；
③把轨迹方程F（x，y）=0整理锝y2=

x3

4-x

，因为平方数大于等于0得0≤x＜4，y∈R，
④0≤x＜4，y2=

x3

4-x

，当x→4时，y→∞，可得直线x=4是曲线的渐近线．

解答：解：（1）由题得：

OM

=（x，y）.

OB

=（4，y₀）.

AB

=（4-x₁，y₀-y₁）．
∵

OM

∥

OB

，

OM

=

AB

．
∴

4y-xy0=0 x=4-x1 y=y0-y1

?

y0= 4y x x1=4-x y1=y0- y= 4y x -y

（2）∵点A（x₁，y₁）在圆（x-2）²+y²=4上运动，
∴（x₁-2）²+y₁²=4?(4-x-2)2+(

4y

x

-y)2=4．
即(x-2)2+(

4y

x

-y)2=4．
∴动点M的轨迹方程为(x-2)2+(

4y

x

-y)2=4．
整理得（x-4）（

x3+xy2-4y2

x2

）=0?x=4或x³+xy²-4y²=0．
因为当x=4时，A的坐标为（0，0），与题中条件相矛盾．
∴动点M的轨迹方程是：x³+xy²-4y²=0．
（3）①关于X轴对称，
将方程中的（x，y）换成（x，-y），方程形式不变，故关于X轴对称；
②顶点为（0，0），
在方程中，令y=0得x=0；故曲线的顶点坐标为（0，0）；
③图象范围是：0≤x＜4，y∈R．
∵y2=

x3

4-x

≥0得0≤x＜4，y∈R．
④直线x=4是曲线的渐近线，
∵0≤x＜4，y2=

x3

4-x

，当x→4时，y→∞，
故直线x=4是曲线的渐近线．

点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及轨迹方程的求法，本题的难点在于对轨迹方程的整理，属于一道难题．