Question

六个人排成一排，计算下列各种情况下的排列数（写出算式并计算结果）
（Ⅰ）甲不在排头，也不在排尾；
（Ⅱ）甲不在排头，乙不在排尾；
（Ⅲ）甲、乙相邻；
（Ⅳ）甲、乙、丙三人互不相邻．

Answer 1

分析：（I）根据题意，假设6个人分别对应6个空位，甲不排在排头也不排在排尾，有4个位置可选；而其他5人对应其他5个位置，对其全排列，由分步计数原理计算可得答案．
（II）分两类，一类是乙排排头，二类是乙不排排头，在一、二类情况下分别利用分步法求其排法数相加．
（III）先将甲、乙捆绑，与其他4人全排列；再排甲、乙，由乘法原理可得答案．
（IV）先排其他3人，再在这3人的左右4个位置中选3个排甲、乙、丙，由乘法原理可得答案．

解答：解：（I）假设6个人分别对应6个空位，甲不排在排头也不排在排尾，有4个位置可选；
则其他4人对应其他4个位置，有

A

5 5

=种情况，
则不同排列方法种数4×=480种；
（II）根据加法原理，分两类，
一类是乙排排头，有

A

5 5

=120种；
二类是乙不排排头，先排排头有4种方法，再排排尾有4种排法，最后排中间四个位置有

A

4 4

种排法；
由乘法原理共有4×4×

A

4 4

=384种；
所以甲不在排头，乙不在排尾共有384+120=504种；
（III）先将甲、乙捆绑，与其他4人全排列，再排甲、乙，
共有

A

5 5

•

A

2 2

=240种．
（IV）先排其他3人，再在这3人的左右4个位置中选3个排甲、乙、丙，
共有

A

3 3

•

A

3 4

=144种．

点评：本题考查了加法计数原理、乘法计数原理的应用，考查了排列数计数公式，本题采用了捆绑法，插空法，特除位置优先法等常用解答排列组合问题的方法．