Question

已知函数f（x）=2x²+mx-1，集合A={x|log₂（x+2）≥log₂（x²+x+1）}，B={x|32x⁸-1≤1}．
（1）设f（x）≤0的解集为C，若C⊆（A∪B），求m的取值范围；
（2）当m∈A，x∈B时，求证：|f（x）|≤．

Answer 1

解：由题意log₂（x+2）≥log₂（x²+x+1），
得x+2≥x²+x+1＞0，
解得-1≤x≤1；
由32x⁸-1≤1得x²≤
解得-≤x≤．
∴A=[-1，1]，B=[-，]，
∴A∪B=[-1，1]．
（1）∵C={x|2x²+mx-1≤0}且C⊆（A∪B），
∴不等式2x²+mx-1≤0的解集是[-1，1]的子集．
∵△=m²+8＞0，
∴只要即可，解得-1≤m≤1．
∴m的取值范围为[-1，1]．
（2）∵m∈A，x∈B，∴|m|≤1，x²≤．
∴|f（x）|=|2x²-1+mx|≤|2x²-1|+|mx|
≤-（2x²-1）+|x|
=-2（|x|-）²+≤．
分析：（1）由题意先化简集合A，B，再根据C⊆（A∪B），得到不等式2x²+mx-1≤0的解集是[-1，1]的子集．利用二次方程根的方布得出关于m的不等关系，从而求出m的取值范围；
（2）利用绝对值不等式的性质得出|f（x）|=|2x²-1+mx|≤|2x²-1|+|mx|≤-（2x²-1）+|x|再结合二次函数的性质即可得到证明．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、二次函数的性质、不等式的解法、交、并、补集的混合运算等基础知识，考查运算求解能力，考查转化思想．属于基础题．