Question

（21）已知是二次函数，不等式的解集是且在区间上的最大值是12。

       （I）求的解析式；

       （II）是否存在实数使得方程在区间内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由。

Answer 1

本小题主要考查函数的单调性、极值等基本知识，考查运用导数研究函数的性质的方法，考查函数与方程、数形结合等数学思想方法和分析问题、解决问题的能力。

       （I）解：是二次函数，且的解集是

       可设

       在区间上的最大值是

       由已知，得

      

       （II）方程等价于方程

       设

       则

       当时，是减函数；

       当时，是增函数。

      

       方程在区间内分别有惟一实数根，而在区间内没有实数根，

       所以存在惟一的自然数使得方程在区间内有且只有两个不同的实数根。