Question

（本小题满分13分）

动圆与定圆内切，与定圆外切，A点坐标为

（1）求动圆的圆心的轨迹方程和离心率；

（2）若轨迹上的两点满足，求的值.

 

Answer 1

【答案】

（1）由椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，其轨迹方程为，离心率为；（2）.

【解析】本试题主要是考查了运用定义法求解轨迹方程以及直线与圆锥曲线的位置关系的综合运用。

（1）利用圆与圆的位置关系，结合圆心距和半径的关系，得到动点的轨迹满足椭圆的定义，然后结合定义得到轨迹方程。

（2）设出直线方程与椭圆方程联立方程组，然后结合韦达定理和向量的关系式的，到坐标关系，进而化简得到点的坐标。

（1）如图，设动圆C的半径为R，

则，①      

  ，②

①+②得，

由椭圆的定义知点的轨迹是以为焦点，长轴长为的椭圆，其轨迹方程为，离心率为……………………………………………………………………6分

（2）设

由可得

所以③…………………………………9分

由是椭圆上的两点，得

，由④、⑤得

将代入③，得，将代入④，得所以，

所以.……………………………………………………13分