Question

【题目】已知椭圆 C： 的焦距为2，且过点，右焦点为．设A，B 是C上的两个动点，线段 AB 的中点M 的横坐标为，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q 两点．

（1）求椭圆 C 的方程；

（2）设M点纵坐标为m，求直线PQ的方程，并求的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）利用椭圆C：（a＞b＞0）的焦距为2，且过点（1，），建立方程组，求出a，b，即可求椭圆C的方程；

（2）分类讨论，求出直线PQ的方程，与椭圆方程联立，结合向量的数量积，在椭圆的内部，利用换元法，即可求的取值范围．

（1） 因为椭圆 的焦距为 ，且过点K ，所以,，所以，于是 ，，所以椭圆 的方程为 ．

（2） 由题意，当直线 垂直于 轴时，直线 方程为 ，此时 ，，得 ．

当直线 不垂直于 轴时，设直线 的斜率为 ，，，，由线段 的中点 的横坐标为 ，得 ，则 ，故 ．此时，直线 斜率为 ， 的直线方程为 ，即 ．联立 消去 ，整理得 ．设 ，，所以 ，，

于是

由于 在椭圆的内部，故 ，令 ，，

则 ．又 ，所以 ．综上， 的取值范围为 ．