Question

设a为实数，函数=x³-x²-x+a.

(1)求的极值;

(2)当a在什么范围内取值时，曲线与x轴仅有一个交点.

Answer 1

解：(1)=3x²-2x-1.

若=0,则x=-,1.

当x变化时, , 的变化情况如下表.

x	(-∞,-)	-	(-,1)	1	(1, +∞)
	+	0	-	0	+

所以的极大值是f(-)=＋a,极小值是f(1)=a－1.

(2)函数=x³-x²-x+a=(x-1)²(x+1)+a-1.

由此可知x取足够大的正数时,有＞0,x取足够小的负数时有＜0.

所以曲线与x轴至少有一个交点.

结合的单调性可知.

当的极大值+a＜0,即a∈(-∞,-)时,它的极小值也小于0,因此曲线与x轴仅有一个交点,它在(1,+∞)上;

当的极小值a-1＞0,即a∈(1,+∞)时,它的极大值也大于0，因此曲线与x轴仅有一个交点,它在(-∞,-)上.?

所以当a∈(-∞,-)∪(1,+∞)时,曲线与x轴仅有一个交点.