Question

已知P是椭圆

x2

25

+

y2

9

=1上的点，F₁、F₂分别是椭圆的左、右焦点，若

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

=

1

2

，则△F₁PF₂的面积为（　　）

• A、3

  3

• B、2

  3

• C、

  3

• D、

  3

  3

Answer 1

分析：先根据椭圆的方程求得c，进而求得|F₁F₂|，设F₁P=m，F₂P=n，再根据条件求出∠F₁PF₂=60°，然后利用余弦定理可求得mn的值，je 利用三角形面积公式求解．

解答：解：由题意可得：a=5，b=3，
所以c=4，即F₁F₂=2c=8．
设F₁P=m，F₂P=n，所以由椭圆的定义可得：m+n=10…①．
因为

PF1 • PF2

| PF1 |•| PF2 |

=

1

2

，所以由数量积的公式可得：cos＜

PF1

，

PF2

＞=

1

2

，
所以＜

PF1

，

PF2

＞=

π

3

．
在△F₁PF₂中∠F₁PF₂=60°，
所以由余弦定理可得：64=m²+n²-2mncos60°…②，
由①②可得：mn=12，所以S△F1PF2=

1

2

mnsin60°=3

3

．
故选A．

点评：解决此类问题的关键是熟练掌握椭圆的标准方程、椭圆的定义，熟练利用数量积求向量的夹角以及利用解三角形的知识求解面积问题．